显示曲线曲率、隐式曲线/隐函数曲率推导过程
曲线曲率显示曲线曲率推导过程隐式曲线曲率推导过程
曲线曲率
曲线的曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率示，曲线曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
显示曲线曲率推导过程
设定曲线方程f=y(x)，用s、
α
\alpha
α 分别表示弧长和角度，微分定义曲线曲率
k
=
lim
α
→
0
∣
Δ
α
Δ
s
∣
{\rm{k}} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \left| {\frac{{\Delta \alpha }}{{\Delta s}}} \right|
k=α→0lim∣∣∣∣ΔsΔα∣∣∣∣ 因为tan
α
\alpha
α=y’，所以
α
\alpha
α=arctany’, 则
d
α
=
(
arctan
y
′
)
′
d
x
=
y
′
′
1
+
y
′
2
d
x
d\alpha = {\left( {\arctan y'} \right)^\prime }dx = \frac{{y''}}{{1 + {{y'}^2}}}dx
dα=(arctany′)′dx=1+y′2y′′dx
d
s
=
1
+
y
′
2
d
x
ds=\sqrt{1+{{y'}^2}}dx
ds=1+y′2
dx 所以可得曲率
k
=
y
′
′
(
1
+
y
′
2
)
3
2
(1)
k = \frac{y''}{({1+{y'}^2}) ^{\frac{3}{2}}} \tag{1}
k=(1+y′2)23y′′(1)
隐式曲线曲率推导过程
结合显示曲线曲率的推导公式，对于隐式曲线u(x,y(x))=0，只需要确定y’和y’’，然后讲y’和y’'带入上述曲率公式即可获得曲率公式。 对隐函数两边同时对x求导可得：
u
x
+
u
y
d
y
d
x
=
0
u_x+u_y\frac{dy}{dx}=0
ux+uydxdy=0
d
y
d
x
=
−
u
x
u
y
(2)
\frac{dy}{dx}=-\frac{u_x}{u_y} \tag{2}
dxdy=−uyux(2),对上式两边进一步同时对x求导可得
d
d
x
(
d
y
d
x
)
=
−
(
(
d
d
x
u
x
)
u
y
−
(
d
d
y
u
y
)
u
x
u
y
2
)
=
−
(
(
u
x
x
+
u
x
y
d
y
d
x
)
u
y
−
(
u
x
y
+
u
y
y
d
y
d
x
)
u
x
u
y
2
)
(3)
\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=-(\frac{ (\frac{d}{dx}u_x) u_y- (\frac{d}{dy}u_y) u_x}{u_y^2})= -(\frac{ (u_{xx} +u_{xy}\frac{dy}{dx}) u_y- (u_{xy}+u_{yy}\frac{dy}{dx}) u_x}{u_y^2}) \tag{3}
dxd(dxdy)=−(uy2(dxdux)uy−(dyduy)ux)=−(uy2(uxx+uxydxdy)uy−(uxy+uyydxdy)ux)(3)
将公式(2)以及公式(3)进一步带入显示曲线曲率公式即公式(1)可求得：
k
=
2
u
x
u
y
u
x
y
−
u
y
2
u
x
x
−
u
x
2
u
y
y
(
u
x
2
+
u
y
2
)
3
2
(4)
k=\frac {2u_xu_yu_xy-u_y^2u_{xx}-u_x^2u_{yy}} {(u_x^2+u_y^2)^\frac{3}{2}} \tag{4}
k=(ux2+uy2)232uxuyuxy−uy2uxx−ux2uyy(4)